Question

12．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當x≥0時，f（x）=a|x-2|-a，其中a＞0為常數(shù)，若函數(shù)y=f[f（x）]有10個零點，則a的取值范圍是（1，3）．

Answer 1

分析 根據(jù)條件作出函數(shù)f（x）的圖象，利用換元法轉(zhuǎn)化為t=f（x）的方程根的個數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：由已知可得：當a＞0時，f（x）=a|x-2|-a=a（|x-2|-1）的圖象如下圖所示：
若f（x）=0，則（|x-2|-1=0，即|x-2|=1，則x=1或x=3，
∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，∴x=-1，或x=-3也是函數(shù)的零點，
即函數(shù)f（x）的零點為x=±1，或x=±3，
設(shè)t=f（x），
則當t＞a時，方程f（x）=t有2個交點，
當t=a時，方程f（x）=t有3個交點，
當-a＜t＜a時，方程f（x）=t有4個交點，
當t=-a時，方程f（x）=t有2個交點，
當t＜-a時，方程f（x）=t有0個交點，
由y=f[f（x）]=0，得f（t）=0，
則t=±1，或t=±3，
若y=f[f（x）]有10個零點，則等價為f（x）=t分別有4，4，2，0個交點，
由對稱性可知當t=1或t=-1時，各有4個交點，當t=3時有2個交點，當t=-3有0個交點，
即1＜a＜3，
故實數(shù)a的取值范圍為：（1，3），
故答案為：（1，3）

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的零點，分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想，綜合性強，分類復(fù)雜，屬于難題．