Question

14．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD為梯形，AD∥BC，AD⊥AB，且PB=AB=AD=3，BC=1．
（Ⅰ）若點F為PD上一點且$PF=\frac{1}{3}PD$，證明：CF∥平面PAB；
（Ⅱ）求二面角B-PD-A的大小；
（Ⅲ）在線段PD上是否存在一點M，使得CM⊥PA？若存在，求出PM的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）過點F作FH∥AD，交PA于H，連接BH，證明HF∥BC，CF∥BH，然后證明CF∥平面PAD．
（Ⅱ）說明BC⊥AB．PB⊥AB，PB⊥BC，以B為原點，BC，BA，BP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，求出平面BPD的一個法向量，平面APD的一個法向量，通過向量的數(shù)量積求解二面角B-PD-A的大�。�
（Ⅲ）假設存在點M，設$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PD}=（3λ，3λ，-3λ）$，利用向量的數(shù)量積求解即可．

解答 解：（Ⅰ）證明：過點F作FH∥AD，交PA于H，連接BH，
因為$PF=\frac{1}{3}PD$，所以$HF=\frac{1}{3}AD=BC$．…．（1分）
又FH∥AD，AD∥BC，所以HF∥BC．…．（2分）
所以BCFH為平行四邊形，所以CF∥BH．…．（3分）
又BH?平面PAB，CF?平面PAB，…．（4分）（一個都沒寫的，則這（1分）不給）
所以CF∥平面PAB．…．（5分）
（Ⅱ）因為梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，所以BC⊥AB．
因為PB⊥平面ABCD，所以PB⊥AB，PB⊥BC，
如圖，以B為原點，BC，BA，BP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，…．（6分）
所以C（1，0，0），D（3，3，0），A（0，3，0），P（0，0，3）．
設平面BPD的一個法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，平面APD的一個法向量為$\overrightarrow m=（a，b，c）$，
因為$\overrightarrow{PD}=（3，3，-3），\overrightarrow{BP}=（0，0，3）$，
所以$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{PD}•\overrightarrow n=0\\ \overrightarrow{BP}•\overrightarrow n=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}3x+3y-3z=0\\ 3z=0\end{array}\right.$，…．（7分）
取x=1得到$\overrightarrow n=（1，-1，0）$，…．（8分）
同理可得$\overrightarrow m=（0，1，1）$，…．（9分）
所以$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow m＞=\frac{\overrightarrow n•\overrightarrow m}{|\overrightarrow n||\overrightarrow m|}=-\frac{1}{2}$，…．（10分）
因為二面角B-PD-A為銳角，
所以二面角B-PD-A為$\frac{π}{3}$．…．（11分）
（Ⅲ）假設存在點M，設$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PD}=（3λ，3λ，-3λ）$，
所以$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CP}+λ\overrightarrow{PM}=（-1+3λ，3λ，3-3λ）$，…．（12分）
所以$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{CM}=-9λ+3（3-3λ）=0$，解得$λ=\frac{1}{2}$，…．（13分）
所以存在點M，且$PM=\frac{1}{2}PD=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．…．（14分）

點評 本題考查直線與平面平行的判定定理的應用，二面角的平面角的求法，向量的數(shù)量積的應用，考查空間想象能力以及計算能力．