Question

2．如圖，在多面體EF-ABCD中，四邊形ABCD，ABEF均為直角梯形，∠ABE=∠ABC=$\frac{π}{2}$，四邊形DCEF為平行四邊形，平面DCEF⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：DF⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若BC=CD=CE=$\frac{1}{2}$AB，求直線BF與平面ADF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出EF∥平面ABCD，從而有AB∥CD∥EF，AB⊥CE，DC⊥DF，由此能證明DF⊥平面ABCD．
（Ⅱ）設BC=1，則BC=CD=CE=1，AB=2，連接BD，則BD⊥AD，DF⊥BD，從而BD⊥平面FAD，∠BFD即為直線BF與平面ADF所成角，由此能求出直線BF與平面ADF所成角的正弦值．

解答 （本題滿分15分）
證明：（Ⅰ） 四邊形DCEF為平行四邊形，知EF∥CD，
∴EF∥平面ABCD，
又平面ABEF∩平面ABCD=AB，從而有AB∥CD∥EF．
∵$∠ABE=∠ABC=\frac{π}{2}$，∴AB⊥平面BCE，∴AB⊥CE，
又四邊形DCEF為平行四邊形，有DF∥CE，∴DC⊥DF，
又∵平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD=DC，
∴DF⊥平面ABCD．…（7分）
解：（Ⅱ）不妨設BC=1，則BC=CD=CE=1，AB=2，
四邊形ABCD均為直角梯形，連接BD，則有$BD=AD=\sqrt{2}$
則BD⊥AD
由DF⊥平面ABCD知DF⊥BD，
∴BD⊥平面FAD，
則∠BFD即為直線BF與平面ADF所成角，…（11分）
在△BFD中，DF⊥BD，$BD=\sqrt{2}，DF=1$，
則$BF=\sqrt{3}$
∴$sin∠BFD=\frac{BD}{DF}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴直線BF與平面ADF所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．…（15分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查線面所成角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．