Question

7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A點的直角坐標(biāo)為$（\sqrt{3}+2cosα，1+2sinα）$（α為參數(shù)）．在以原點O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)中，直線的極坐標(biāo)方程為$2ρcos（θ+\frac{π}{6}）=m$．（m為實數(shù)）．
（1）試求出動點A的軌跡方程（用普通方程表示）
（2）設(shè)A點對應(yīng)的軌跡為曲線C，若曲線C上存在四個點到直線的距離為1，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意寫出A的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+2cosα}\\{y=1+2sinα}\end{array}\right.$，把兩式移項平方作和得答案；
（2）化直線的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，畫出圖形，應(yīng)用點到直線的距離公式求解．

解答 解：（1）設(shè)A（x，y），又A點的直角坐標(biāo)為$（\sqrt{3}+2cosα，1+2sinα）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+2cosα}\\{y=1+2sinα}\end{array}\right.$，把兩式移項平方作和得：$（x-\sqrt{3}）^{2}+（y-1）^{2}=4$；
（2）由$2ρcos（θ+\frac{π}{6}）=m$，
得$2ρ×\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ-2ρ×\frac{1}{2}sinθ=m$，即$\sqrt{3}x-y-m=0$，
如圖，要使曲線C上存在四個點到直線的距離為1，
則圓C的圓心C（$\sqrt{3}，1$）到直線$\sqrt{3}x-y-m=0$的距離小于1．
即$\frac{|3-1-m|}{2}$＜1，解得0＜m＜4．

點評 本題考查簡單曲線的極坐標(biāo)方程，考查了參數(shù)方程化普通方程，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了點到直線的距離公式的應(yīng)用，是中檔題．