Question

20．設(shè)x，y∈R，給出四個點A（2^x-1，y），B（1，1），C（x²+1，4），D（x²-1，1）
（1）若$\overrightarrow{AB}$∥$\overrightarrow{CD}$，把y表示成x的函數(shù)y=f（x）；
（2）對數(shù)列{a_n}，設(shè)a₁=a₂=1，且${4}^{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{3}$f（a_n）+$\frac{4}{3}$，（n≥2，n∈N^*），求$\underset{lim}{n→∞}$a_n．

Answer 1

分析 （1）求出向量的坐標(biāo)，再由向量共線的坐標(biāo)表示，即可得到所求函數(shù)的解析式；
（2）由題意化簡可得a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n，（n≥2），再由等比數(shù)列的通項公式，可得a_n，再由數(shù)列極限的運算性質(zhì)可得結(jié)論．

解答 解：（1）由題意可得$\overrightarrow{AB}$=（2-2^x，1-y），$\overrightarrow{CD}$=（-2，-3），
由若$\overrightarrow{AB}$∥$\overrightarrow{CD}$，可得-3（2-2^x）=-2（1-y），
即有y=f（x）=3•2^x-1-2；
（2）${4}^{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{3}$f（a_n）+$\frac{4}{3}$，可得
${4}^{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{3}$（3•${2}^{{a}_{n}-1}$-2）+$\frac{4}{3}$=${2}^{{a}_{n}}$，
即有a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n，（n≥2），
a₃=$\frac{1}{2}$a₂=$\frac{1}{2}$，
即有a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{（\frac{1}{2}）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$，
則$\underset{lim}{n→∞}$a_n=$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{1}{2}$）^n-2=0．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式的運用，數(shù)列極限的求法，同時考查向量的共線的坐標(biāo)表示，考查運算能力，屬于中檔題．