Question

15．已知E、F是圓內(nèi)接四邊形ABCD對邊AB、CD的中點，M是EF的中點，自E分別作BC、AD的垂線，垂足記為P、Q．求證：MP=MQ．

Answer 1

分析 過F、T作BC、AD的垂線，垂直足為X、Y、P、Q，則TX和TY為MP和NQ的垂直平分線，推導出M、N、Q、P四點共圓，得到T是圓MNQP的圓心，由此能證明TM=TN．

解答 證明：如圖，過F、T作BC、AD的垂線，垂直足為X、Y、P、Q，
如圖連結(jié)輔助線，則TX和TY為MP和NQ的垂直平分線，
由四點共圓知：
EN=$\frac{1}{2}AB•sinA$，EM=$\frac{1}{2}AB•sinB$，F(xiàn)Q=$\frac{1}{2}CD•sinB$，F(xiàn)Q=$\frac{1}{2}CD•sinB$，F(xiàn)P=$\frac{1}{2}CD•sinA$，
∴$\frac{EN}{EM}=\frac{FP}{FQ}$，又由EN∥FQ，EM∥FP，∴∠NEM=∠PFQ，
∴△NEM∽△PFQ，∴∠ENM=∠FPQ，
∴∠MNQ+∠QPM=∠MNQ+∠ENM+∠FPM=90°+90°=180°，
∴M、N、Q、P四點共圓，
∴T是圓MNQP的圓心，
∴TM=TN．

點評 本題考查線段相等的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意四點共圓的性質(zhì)的合理運用．