Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2x-|x-1-a|-|x-2|+4．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求f（x）的最小值
（Ⅱ）對?x∈R，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）代入a值f（x）=x²-2x-2|x-2|+4，分類討論即可；
（2）利用特殊值先確定一個范圍：由f（0）≥0，f（1）≥0，得-2≤a≤1；在對x進(jìn)行分類討論．

解答 解（Ⅰ）當(dāng)a=1時，
f（x）=x²-2x-2|x-2|+4，
當(dāng)x≥2時，f（x）=（x-2）²+4≥4，
當(dāng)x＜2時，f（x）=x²≥0，
∴f（x）的最小值為0；
（II）由f（0）≥0，f（1）≥0，…（9分）
即|1+a|≤2，|a|≤2，得-2≤a≤1．…（11分）
又當(dāng)-2≤a≤1時，
ⅰ）若x≥2，f（x）=（x-2）²+3+a≥0，
ⅱ）若1+a≤x＜2，f（x）=（x-1）²+2+a≥0，
ⅲ）若x＜1+a，f（x）=x²-a+1≥0，
綜上可知-2≤a≤1時，對?x∈R，f（x）≥0恒成立，
故a∈[-2，1]．（15分）

點評 考查了絕對值函數(shù)和利用特殊值的思想解決恒成立問題，思路不太好想，難點較大．