分析 (1)運用排列數(shù)公式,計算即可得到所求;(2)由排列數(shù)公式,提取n,即可得到所求an與an-1之間的關系式;(3)運用(2)的結論和階乘的定義,結合不等式的性質,即可得證.
解答 解:(1)a2=${A}_{2}^{1}$+${A}_{2}^{2}$=2+2=4,
a3=${A}_{3}^{1}$+${A}_{3}^{2}$+${A}_{3}^{3}$=3+6+6=15,
a4=${A}_{4}^{1}$+${A}_{4}^{2}$+${A}_{4}^{3}$+${A}_{4}^{4}$=4+4×3+4×3×2+4×3×2×1=64,
a5=${A}_{5}^{1}$+${A}_{5}^{2}$+${A}_{5}^{3}$+${A}_{5}^{4}$+${A}_{5}^{5}$=5+20+60+120+120=325;
(2)an=${A}_{n}^{1}$+${A}_{n}^{2}$+…+${A}_{n}^{n}$=n+n(n-1)+n(n-1)(n-2)+…+n!
=n+n[(n-1)+(n-1)(n-2)+…+(n-1)!]
=n+nan-1;
(3)證明:由(2)可知$\frac{1+{a}_{n-1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n}$,
所以(1+$\frac{1}{{a}_{1}}$)(1+$\frac{1}{{a}_{2}}$)…(1+$\frac{1}{{a}_{n}}$)=$\frac{1+{a}_{1}}{{a}_{1}}$•$\frac{1+{a}_{2}}{{a}_{2}}$…$\frac{1+{a}_{n}}{{a}_{n}}$
=$\frac{1+{a}_{n}}{n!}$=$\frac{1}{n!}$+$\frac{{A}_{n}^{1}}{n!}$+$\frac{{A}_{n}^{2}}{n!}$+…+$\frac{{A}_{n}^{n}}{n!}$=$\frac{1}{n!}$+$\frac{1}{(n-1)!}$+$\frac{1}{(n-2)!}$+…+$\frac{1}{(n-n)!}$
=$\frac{1}{0!}$+$\frac{1}{1!}$+$\frac{1}{2!}$+…+$\frac{1}{n!}$≤1+1+$\frac{1}{1•2}$+$\frac{1}{2•3}$+…+$\frac{1}{(n-1)n}$
=2+1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$=3-$\frac{1}{n}$<3(n≥2).
所以n≥2時不等式成立,而n=1時不等式顯然成立,所以原命題成立.
點評 本題考查數(shù)列的求和和通項,考查排列的定義和運算,同時考查階乘的運用和不等式的性質,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | “若x+y=0,則x,y互為相反數(shù)”的逆命題為真命題 | |
B. | 命題“若xy=0,則x=0”的否命題為“若xy=0,則x≠0” | |
C. | 命題“?x∈R,使得2x2-1<0”的否定是“?x∈R,均有2x2-1<0” | |
D. | 命題“若cosx=cosy,則x=y”的逆否命題為真命題 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 0 | B. | 1 | C. | $\frac{32}{63}$ | D. | $\frac{1}{2}$ |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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