Question

1．如圖，在三棱錐S-ABC中，SA⊥平面ABC，點(diǎn)D是SC的中點(diǎn)，且平面ABD⊥平面SAC．
（1）求證：AB⊥SC；
（2）若SA=2AB=3AC，求二面角S-BD-A的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可證明AB⊥SC；
（2）若SA=2AB=3AC，建立坐標(biāo)系，求出平面的法向量即可求二面角S-BD-A的正弦值．

解答 （1）證明：∵SA⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面SAC，
∵平面ABD⊥平面SAC，平面ABD∩平面ABC=AB，
∴AB⊥平面SAC，
∵SC?平面SAC，
∴AB⊥SC；
（2）若SA=2AB=3AC，
設(shè)SA=6，則AB=3，AC=2，
建立以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CS分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
則A（0，0，0），S（0，0，6），C（-2，0，0），D（-1，0，3），B（0，3，0），
則$\overrightarrow{BD}$=（-1，-3，3），$\overrightarrow{SB}$=（0，3，-6），$\overrightarrow{AB}$=（0，3，0），
設(shè)則平面SBD的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
設(shè)平面BDA的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{SB}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{-x-3y+3z=0}\\{3y-6z=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-x-3z=0}\\{y=2z}\end{array}\right.$，令z=1，則y=2，x=-3，即$\overrightarrow{m}$=（-3，2，1），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{-x-3y+3z=0}\\{3y=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=3z}\\{y=0}\end{array}\right.$，
令z=1，則y=0，x=3，即$\overrightarrow{n}$=（3，0，1），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-3×3+1}{\sqrt{9+4+1}•\sqrt{9+1}}$=$\frac{-8}{\sqrt{14}•\sqrt{10}}=\frac{-8}{2\sqrt{35}}$=-$\frac{4}{\sqrt{35}}$，
則sin＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\sqrt{1-（-\frac{4}{\sqrt{35}}）^{2}}$=$\sqrt{1-\frac{16}{35}}=\sqrt{\frac{19}{35}}$=$\frac{\sqrt{665}}{35}$，
即二面角S-BD-A的正弦值是$\frac{\sqrt{665}}{35}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查面面垂直的性質(zhì)定理以及二面角的求解，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行求解，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．