Question

16．設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=（x-a）²+|x-a|-a（a+1），x∈R．求f（x）的單調(diào)區(qū)間及最小值．

Answer 1

分析 化簡函數(shù)f（x）的解析式，通過當(dāng)x＜a時，當(dāng)x≥a時，利用二次函數(shù)f（x）的對稱軸求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：函數(shù) f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-（2a+1）x+2a，x＜a\\{x}^{2}+（1-2a）x，x≥a\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{[x-（a+\frac{1}{2}）]}^{2}-\frac{（2a-1）^{2}}{4}，x＜a\\{[x-（a-\frac{1}{2}）]}^{2}-\frac{（2a-1）^{2}}{4}，x≥a\end{array}\right.$，
當(dāng)x＜a時，函數(shù)f（x）的對稱軸為：x=$\frac{2a+1}{2}$=a+$\frac{1}{2}$＞a，此時y=f（x）在（-∞，a）時是減函數(shù)，
當(dāng)x≥a時，函數(shù)f（x）的對稱軸為：x=$\frac{2a-1}{2}$=a-$\frac{1}{2}$＜a，y=f（x）在（a，+∞）時是增函數(shù)，
故當(dāng)x=a時，函數(shù)取得最小值f（a）=-a（a+1）．

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間和最值的求解，根據(jù)條件將f（x）表示分段函數(shù)形式，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解是解決本題的關(guān)鍵．