Question

1．雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右焦點為M，左頂點為A，以F是為圓心過點A的圓交雙曲線的一條漸近線于P，Q兩點，若|PQ|不小于雙曲線的虛軸長，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（　�。�

• A． （1，2]
• B． $（1，\sqrt{3}]$
• C． （1，3]
• D． R

Answer 1

分析 根據(jù)題意寫出圓的標準方程，求出圓心到漸近線的距離，運用弦長公式求得弦長PQ，再由題意|PQ|不小于2b，結(jié)合a，b，c的關(guān)系和離心率公式即可求出離心率的取值范圍．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右焦點為F（c，0），左頂點A（-a，0），
圓F：（x-c）²+y²=（a+c）²，
則雙曲線的一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
圓心F（c0）到漸近線bx-ay=0的距離為d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$=$\frac{bc}{c}$=b，
則|PQ|=2$\sqrt{{（a+c）}^{2}{-b}^{2}}$≥2b，
即有（a+c）²≥2b²=2（c²-a²），
即為c²-2ac-3a²≤0，
由離心率e=$\frac{c}{a}$，得e²-2e-3≤0，
解得-1≤e≤3；
又e＞1，所以1＜e≤3．
故選：C．

點評 本題考查了雙曲線的標準方程與幾何性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了直線和圓的應(yīng)用問題，是綜合性題目．