Question

6．已知函數(shù)f（x）=ax²-x-3，
（1）求a的范圍，使y=f（x）在[-2，2]上不具單調(diào)性；
（2）當$a=\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[t，t+1]上的最大值記為g（t），求g（t）的函數(shù)表達式；
（3）第（2）題的函數(shù)g（t）是否有最值，若有，請求出；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）有不單調(diào)可知對稱軸在（-2，2）之間，列出不等式解出；
（2）對f（x）在[t，t+1]上的單調(diào)性進行討論，分別求出g（t）；
（3）分段討論g（t）的單調(diào)性與最值．

解答 解：（1）∵y=f（x）在[-2，2]上不具單調(diào)性，
∴-2$＜\frac{1}{2a}$＜2，解得a＞$\frac{1}{4}\\;\$或a$＜-\frac{1}{4}$．
（2）當$a=\frac{1}{2}$時，$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-x-3=\frac{1}{2}{（x-1）^2}-\frac{7}{2}$，
當t≥1時，f（x）在[t，t+1]上是增函數(shù)，∴g（t）=f（t+1）=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{7}{2}$．
當t+1≤1，即t≤0時，f（x）在[t，t+1]上是減函數(shù)，∴g（t）=f（t）=$\frac{1}{2}$t²-t-3．
當t＜1＜t+1時，若t+1-1≥1-t，即$\frac{1}{2}$≤t＜1，g（t）=f（t+1）=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{7}{2}$．
若t+1-1＜1-t，即0＜t＜$\frac{1}{2}$時，g（t）=f（t）=$\frac{1}{2}$t²-t-3．
綜上，g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{t}^{2}-t-3，t＜\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{2}{t}^{2}-\frac{7}{2}，t≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
（3）當t$＜\frac{1}{2}$時，g（t）=$\frac{1}{2}$（t-1）²-$\frac{7}{2}$，∴g（t）在（-∞，$\frac{1}{2}$）上是減函數(shù)，故g（t）＞g（$\frac{1}{2}$）；
當t$≥\frac{1}{2}$時，g（t）=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{7}{2}$，∴g（t）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數(shù)，∴g（t）≥g（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{27}{8}$，
綜上：g（t）有最小值-$\frac{27}{8}$，無最大值．

點評 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性與最值，分類討論思想是解決二次函數(shù)常用的方法．