Question

9．如果關(guān)于x的不等式|x-3|+|x-4|≤|a|的解集為空集．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若實(shí)數(shù)b與實(shí)數(shù)a取值范圍完全相同，求證：|1-ab|＞|a-b|

Answer 1

分析 （1）由條件利用絕對(duì)值的意義，求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）要證的不等式等價(jià)于 （1-a²）（1-b²）＞0，由條件得到（1-a²）＞0，且（1-b²）＞0，不等式得證．

解答 解：（1）由于|x-3|+|x-4|≤表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到3、4對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，它的最小值為1，
由于關(guān)于x的不等式|x-3|+|x-4|≤|a|的解集為空集，
故|a|＜1，求得-1＜a＜1．
（2）若實(shí)數(shù)b與實(shí)數(shù)a取值范圍完全相同，即-1＜b＜1，即|b|＜1，
|1-ab|＞|a-b|，等價(jià)于 （1-ab）²＞（a-b）²，等價(jià)于1+a²b²-a²-b²＞0，
等價(jià)于 （1-a²）（1-b²）＞0．
由于（1-a²）＞0，且（1-b²）＞0，故（1-a²）（1-b²）＞0成立，即|1-ab|＞|a-b|成立．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．