Question

8．已知三棱錐V-ABC的底面ABC是邊長為4的正三角形，側(cè)棱長都相等，其外接球（三棱錐的每個頂點都在球面上）的球心為O，滿足$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{VO}$，則球O的體積為8$\sqrt{6}$π．

Answer 1

分析 利用向量關(guān)系，得出∠AOB=∠VOC，從而△AOB≌△VOC，|VC|=|AB|=4，三棱錐V-ABC是棱長為4的正四面體，再利用勾股定理求出R，即可求出球O的體積．

解答 解：如圖，設(shè)球O的半徑為R，則|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=|$\overrightarrow{VO}$|=R．
由$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{VO}$，可得$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{VO}$-$\overrightarrow{OC}$，
∴cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞=cos＜$\overrightarrow{OV}$，$\overrightarrow{OC}$＞，
∴∠AOB=∠VOC，從而△AOB≌△VOC，
∴|VC|=|AB|=4，
∴三棱錐V-ABC是棱長為4的正四面體，
設(shè)V在△ABC中的射影為H，則|BH|=$\frac{4}{\sqrt{3}}$，|VH|=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
Rt△OHB中，R²=（$\frac{4}{\sqrt{3}}$）²+（R-$\frac{4\sqrt{6}}{3}$）²，∴R=$\sqrt{6}$，
∴V=8$\sqrt{6}$π．
故答案為：8$\sqrt{6}$π．

點評 本題考查球的體積，考查向量知識的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確利用向量關(guān)系是關(guān)鍵．