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5．東莞某商城欲在國慶期間對某新上市商品開展促銷活動，經測算該商品的銷售量a萬件與促銷費用x萬元滿足ax+20a=40x+755，已知a萬件該商品的進價成本為100+30a萬元，商品的銷售價定為50+$\frac{300}{a}$元/件．
（1）將該商品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數；
（2）促銷費用投入多少萬元時，商家的利潤最大？最大利潤為多少？

分析 （1）根據產品的利潤=銷售額-產品的成本建立函數關系；
（2）利用基本不等式可求出該函數的最值，注意等號成立的條件．

解答 解：（1）由題意知，a=40-$\frac{45}{x+20}$
y=（5+$\frac{300}{a}$）a-x-（100+30a）=1000-$\frac{900}{x+20}$-x（x＞0）
（2）y=1000-$\frac{900}{x+20}$-x=1020-[$\frac{900}{x+20}$+（x+20）]≤1020-2$\sqrt{900}$=960，
當且僅當$\frac{900}{x+20}$=x+20，即x=10時，等號成立，
∴促銷費用投入10萬元時，商家的利潤最大，最大利潤為960萬元．

點評 本題主要考查了函數模型的選擇與應用，以及基本不等式在最值問題中的應用，同時考查了計算能力，屬于中檔題．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：填空題

15．給出下列四個命題：
①“直線a，b沒有公共點”是“直線a，b為異面直線”的必要不充分條件；
②“直線a，b和平面α所成的角相等”是“直線a，b平行”的充分不必要條件；
③“直線l平行于兩個相交平面α，β”是“直線l與平面α，β的交線平行”的充要條件；
④“直線l與平面α內無數條直線都垂直”是“直線l⊥平面α”的必要不充分條件．
其中，所有真命題的序號是①④．

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科目：高中數學 來源： 題型：填空題

16．已知f（x）=xex，g（x）=-（x+1）2+a，若?x1，x2∈[-2，0]，使得f（x2）≤g（x1）成立，則實數a的取值范圍是[-$\frac{1}{e}$，+∞）．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

13．在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，A1A=1且A1B=A1D=$\sqrt{2}$．
（1）求證：A1A⊥平面ABCD；
（2）求該四棱柱的內切球體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

20．計算：
（1）sin（-1200°）cos 1290°+cos（-1020°）•sin（-1050°）
（2）log28+lg0.01+ln$\sqrt{e}+{2^{-1+{{log}_2}^3}}$．

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科目：高中數學 來源： 題型：選擇題

10．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}-1，x≤0}\\{f（x-1）+1，x＞0}\end{array}\right.$（a＞0，a≠1），把函數g（x）=f（x）-x的零點按照從小到大的順序排成一個數列{an}，則a2016的值為（　　）
A．1008B．2015C．2016D．4032

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科目：高中數學 來源： 題型：選擇題

17．直線a，b和平面α，β滿足α∥β，a?α，b?β，則直線a，b的關系是（　　）
A．平行B．相交C．異面D．平行或異面

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

14．（普通班）已知數列{an}滿足a1=2，對于任意的n∈N+都有an＞0，且（n+1）an2+anan+1-nan+12=0，又知數列{bn}：bn=2n-1+an-1．
（1）求數列{an}的通項an以及它的前n項和Sn；
（2）求數列{bn}的前n項和Tn．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

15．若函數f（x）=2sin（2x+φ）（-π＜φ＜0）圖象的一個對稱中心為（$\frac{7π}{12}$，0）．
（1）求φ的值；
（2）求函數f（x）的單調遞減區(qū)間；
（3）求函數f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的值域．

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