Question

6．已知函數(shù)f（x）=x³+ax．
（Ⅰ）若f（x）在x=1處的切線平行于x軸，求a的值和f（x）的極值；
（Ⅱ）若過點A（1，0）可作曲線y=f（x）的三條切線，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數(shù)的導函數(shù)，由f（x）在x=1處的切線平行于x軸，可得f′（1）=0，由此求a的值，把a值代入導函數(shù)，求得導函數(shù)的零點，由導函數(shù)的零點對函數(shù)定義域分段，列表得到單調(diào)區(qū)間，則f（x）的極值可求；
（Ⅱ）設(shè)出切點（t，t³+at），求導數(shù)，利用直線方程點斜式得到切線方程，代入A的坐標，化為關(guān)于t的方程，再利用導數(shù)求出關(guān)于t的函數(shù)的極值，由極大值大于0，且極小值小于0聯(lián)立不等式組求得a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+a，
∵f（x）在x=1處的切線平行于x軸，∴f′（1）=3+a=0，即a=-3．
∴f（x）=x³-3x．
令f′（x）=3x²-3=0，得x=±1．

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴f（x）_極大值=f（-1）=2，f（x）_極小值=f（1）=-2；
（Ⅱ）設(shè)切點為（t，t³+at），則切線斜率為f′（t）=3t²+a，
∴切線方程為 y-t³-at=（3t²+a）（x-t），
∵點A（1，0）在切線上，
∴-t³-at=（3t²+a）（1-t），即 2t³-3t²-a=0．（*）  
于是，若過點A可作曲線y=f（x）的三條切線，則方程（*）有三個相異的實根根．
記 g（t）=2t³-3t²-a，則 g′（t）=6t²-6t．
當t∈（-∞，0）時，g′（t）＞0，g（t）是增函數(shù)，
當t∈（0，1）時，g′（t）＜0，g（t）是減函數(shù)，
當t∈（1，+∞）時，g′（t）＞0，g（t）是增函數(shù)，
∴g（t）_極大值=g（0）=-a，g（t）_極小值=g（1）=-1-a．
要使方程（*）有三個相異實根，
則$\left\{\begin{array}{l}g{（t）_{極大值}}=-a＞0\\ g{（t）_{極小值}}=-1-a＜0\end{array}\right.$，即-1＜a＜0．

點評 本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的極值，對于（Ⅱ）的求解，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，是中檔題．