Question

10．已知拋物線y²=4x的焦點為F，A（-1，0），點P是拋物線上的動點，則當$\frac{{|{PF}|}}{{|{PA}|}}$的值最小時，△PAF的面積為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． 2
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 設P到準線的距離為PQ，根據(jù)拋物線的性質可知$\frac{|PF|}{|PA|}=\frac{|PQ|}{|PA|}$=sin∠PAQ．從而當∠PAQ最小，即AP與拋物線相切時，$\frac{{|{PF}|}}{{|{PA}|}}$的值最小．利用解方程組的方程求出拋物線過A點的切線方程得出P點坐標，代入面積公式得出面積．

解答 解：拋物線的準線方程為x=-1．
設P到準線的距離為|PQ|，則|PQ|=|PF|．
∴$\frac{|PF|}{|PA|}=\frac{|PQ|}{|PA|}$=sin∠PAQ．
∴當PA與拋物線y²=4x相切時，∠PAQ最小，即$\frac{{|{PF}|}}{{|{PA}|}}$取得最小值．
設過A點的直線y=kx+k與拋物線相切（k≠0），代入拋物線方程得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
∴△=（2k²-4）²-4k⁴=0，解得k=±1．
即x²-2x+1=0，解得x=1，把x=1代入y²=4x得y=±2．
∴P（1，2）或P（1，-2）．
∴S_△PAF=$\frac{1}{2}|AF|•|{y}_{P}|$=$\frac{1}{2}×2×2$=2．
故選：B．

點評 本題考查了拋物線的性質，直線與圓錐曲線的位置關系屬于中檔題．