Question

1．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C的左右焦點，點M（0，4），$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=13．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過A（0，1）作直線l與橢圓的另一交點為B，若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-$\frac{3}{5}$，求橢圓上的點到直線l的距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用點M（0，4），$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=13，求出c，利用橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求出a，可得b，即可求橢圓C的方程；
（2）先求出直線l的方程，再利用參數(shù)法求出橢圓上的點到直線l的距離的最大值．

解答 解：（1）∵點M（0，4），$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=13，
∴（-c，-4）•（c，-4）=13，
∴c=$\sqrt{3}$，
∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴a=2，
∴b=1，
∴橢圓C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（2）設直線l的方程為y=kx+1，代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，整理可得（1+4k²）x²+8kx=0
設B（x₁，y₁），則x₁=-$\frac{8k}{1+4{k}^{2}}$
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-$\frac{3}{5}$，
∴y₁=-$\frac{3}{5}$，
∴k×（-$\frac{8k}{1+4{k}^{2}}$）+1=-$\frac{3}{5}$，
∴k=±1
取k=1，則x-y+1=0，
設橢圓上的點（x，y），則x=2cosθ，y=sinθ
橢圓上的點到直線l的距離d=$\frac{|x-y+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{5}cos（θ+α）+1|}{\sqrt{2}}$，
∴橢圓上的點到直線l的距離的最大值為$\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查向量知識的運用，考查點到直線的距離公式，屬于中檔題．