Question

17．為推進(jìn)“十二五”期間環(huán)保事業(yè)的科學(xué)發(fā)展，加快資源節(jié)約型、環(huán)境友好型社會建設(shè)，推行清潔生產(chǎn)和發(fā)展循環(huán)經(jīng)濟(jì)，減少造紙行業(yè)的污染物排放，寧夏某大型造紙企業(yè)擬建一座俯視圖為矩形且其面積為81平方米的三級污水處理池（如下圖所示），池的高度為3米．如果池的四周圍墻建造單價(jià)為200元/平方米，中間兩道隔墻建造價(jià)格為138元/平方米，池底建造單價(jià)為70元/平方米，該污水處理池所有的墻的厚度忽略不計(jì)．設(shè)污水池的寬為x米，總造價(jià)為S元．
（Ⅰ）寫出S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求出x的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)計(jì)污水處理池的長和寬分別為多少時(shí)，總造價(jià)S最低，求出最低總造價(jià)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）污水處理池的底面積一定，設(shè)寬為x米，可表示出長，從而得出總S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求出x的取值范圍；
（Ⅱ）利用基本不等式求出最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）$S（x）=3x•2•138+200（3x•2+3•\frac{81}{x}•2）+70•81$=$12•（169x+\frac{8100}{x}）+5670$
=$2028x+\frac{97200}{x}+5670$，其中x＞0…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
∵x＞0，由基本不等式得S（x）=$12•（169x+\frac{8100}{x}）+5670$$≥12•2\sqrt{169x•\frac{8100}{x}}+5670$
=24•13•90+5670=28080+5670=33750…（9分）
當(dāng)且僅當(dāng)$169x=\frac{8100}{x}$，即$x=\frac{90}{13}$時(shí)，取等號； …（10分）
此時(shí)長為$\frac{81}{x}=11.7$…（11分）
∴當(dāng)長為11.7米，寬為$\frac{90}{13}$米時(shí)，S（x）最低，最低總造價(jià)為33570元…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查了建立函數(shù)解析式，利用基本不等式求函數(shù)最值的能力，同時(shí)考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．