Question

6．某廠采用新技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品的產(chǎn)量x（噸）與相應的生產(chǎn)成本y（萬元）的幾組對照數(shù)據(jù)．

x	3	4	5	6
y	3	3.5	4.5	5

（1）請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；
（2）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$；
（3）已知該廠技改前生產(chǎn)50噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為40萬元．試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預測生產(chǎn)50噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)成本比技改前降低多少萬元？
（參考數(shù)據(jù)：$\sum_{i=1}^4{x_i^2=86}$$\sum_{i=1}^4{y_i^2=66}$.5$\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}=75}$.5，$\widehat$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}$）

Answer 1

分析 （1）把所給的四對數(shù)據(jù)寫成對應的點的坐標，在坐標系中描出來，得到散點圖．
（2）根據(jù)所給的這組數(shù)據(jù)求出利用最小二乘法所需要的幾個數(shù)據(jù)，代入求系數(shù)b的公式，求得結(jié)果，再把樣本中心點代入，求出a的值，得到線性回歸方程．
（3）根據(jù)上一問所求的線性回歸方程，把x=50代入線性回歸方程，即可預測生產(chǎn)50噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)成本比技改前降低多少．

解答 解：（1）把所給的四對數(shù)據(jù)寫成對應的點的坐標，在坐標系中描出來，得到散點圖            …（2分）
（2）由已知$\sum_{i=1}^4{x_i^2=86}$，$\sum_{i=1}^4{y_i^2=66}.5$，$\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}=75}.5$，$\overline x=4.5$，$\overline y=4$，
所以，由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為：
$\widehat$=$\frac{75.5-4×4×4.5}{{86-4×{{4.5}^2}}}=0.7$…（5分）
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$=4-0.7×4.5=0.85                     …（7分）
因此，所求的線性回歸方程為$\widehat{y}$=0.7x+0.85             …（8分）
（3）由（2）的回歸方程及技改前生產(chǎn)50噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)成本，得降低的生產(chǎn)成本為：
40-（0.7×50+0.85）=4.15（萬元）．                 …（12分）

點評 本題考查線性回歸方程，兩個變量之間的關(guān)系，除了函數(shù)關(guān)系，還存在相關(guān)關(guān)系，通過建立回歸直線方程，就可以根據(jù)其部分觀測值，獲得對這兩個變量之間整體關(guān)系的了解．