Question

8．設(shè)定義城為R的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且f′（x）＜f（x）對x∈R恒成立，f（1）=0，則（x+1）f（x）≥0的解集為（　�。�

• A． （0，1]
• B． [1，+∞）
• C． [-1，1]
• D． （-∞，-1]∪[1，+∞）

Answer 1

分析 構(gòu)造新函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，則$g′（x）=\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0，可知g（x）的性質(zhì)，從而得到f（x）的性質(zhì)，即當(dāng)x＜1時，f（x）＞0；當(dāng)x＞1時，f（x）＜0．再將不等式（x+1）f（x）≥0轉(zhuǎn)化為$\left\{\begin{array}{l}{x+1≥0}\\{f（x）≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x+1≤0}\\{f（x）≤0}\end{array}\right.$，即可求出答案．

解答 令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，則$g′（x）=\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0，
∴g（x）在R上為減函數(shù)，g（1）=f（1）=0，
∴當(dāng)x＜1時，g（x）＞0，即f（x）＞0；當(dāng)x＞1時，g（x）＜0，即f（x）＜0．
（x+1）f（x）≥0的解等價于$\left\{\begin{array}{l}{x+1≥0}\\{f（x）≥0}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{x+1≤0}\\{f（x）≤0}\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}{x≥-1}\\{x≤1}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{x≤-1}\\{x≥1}\end{array}\right.$．
亦即-1≤x≤1．
故選：C．

點評 本題屬于構(gòu)造函數(shù)的類型，在處理這種題型時，往往要結(jié)合著題目中所給的條件進(jìn)行構(gòu)造，比如本題中“f′（x）＜f（x）”，而構(gòu)造出的g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，$g′（x）=\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0恰好可以將條件用上，這也是有效解決問題的印證之一．