Question

11．橢圓C的中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上，經(jīng)過P₁（$\sqrt{6}$，1），P₂（$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$）．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）斜率不為0的直線l與橢圓C交于M、N兩點，定點A（0，$\sqrt{3}$），若|AM|=|AN|，求直線1的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意設(shè)橢圓的方程為mx²+ny²=1，代點解關(guān)于mn的方程組可得；
（2）利用點差法，結(jié)合|AM|=|AN|，可得AE⊥MN，從而可得E的坐標(biāo)，利用E在橢圓內(nèi)部，解關(guān)于k的不等式可得．

解答 解：（1）由題意設(shè)橢圓的方程為mx²+ny²=1，其中m，n為不相等的正數(shù)，
代入P₁（$\sqrt{6}$，1），P₂（$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$）可得6m+n=1且3m+2n=1，
解方程組可得m=$\frac{1}{9}$，n=$\frac{1}{3}$，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），其中點E（x₀，y₀），
則由MN在橢圓C上可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{9}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}=1}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{9}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
兩方程相減可得$\frac{1}{9}$（x₁+x₂）（x₁-x₂）+$\frac{1}{3}$（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0
∴$\frac{1}{9}$x₀（x₁-x₂）+$\frac{1}{3}$y₀（y₁-y₂）=0，即k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{{x}_{0}}{3{y}_{0}}$①
又AE⊥MN，故$\frac{{y}_{0}-\sqrt{3}}{{x}_{0}}$=-$\frac{1}{k}$，即k=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-\sqrt{3}}$②
由①②可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{3\sqrt{3}k}{2}}\\{{y}_{0}=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
∵E在橢圓內(nèi)部，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{9}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}$＜1，
∴代入可得$\frac{3}{4}$k²+$\frac{1}{4}$＜1，
∴k²＜1，又k≠0，
∴-1＜k＜1且k≠0

點評 本題考查橢圓的性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程，正確運用點差法是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．