Question

16．已知點(diǎn)O（0，0），A（-8，0），B（0，3），Q（3，2），動點(diǎn)P滿足條件|PA|=3|PO|．
（1）求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)B，直線m經(jīng)過點(diǎn)Q．問是否存在直線l使之被軌跡C截得的線段MN恰被直線m垂直平分？若存在，求出直線l與直線m的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用動點(diǎn)P滿足|PA|=3|PO|，建立方程，化簡可得點(diǎn)P的軌跡方程．
（2）利用垂徑定理，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），則
∵點(diǎn)O（0，0），A（-8，0），動點(diǎn)P滿足|PA|=3|PO|，
∴$\sqrt{（x+8）^{2}+{y}^{2}}$=3$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
化簡整理可得x²+y²-8x-32=0；
（2）x²+y²-8x-32=0可化為（x-4）²+y²=48，
由題意，m過圓心（4，0），∵直線m經(jīng)過點(diǎn)Q（3，2），∴直線m的方程為y=$\frac{2}{3-4}$（x-4），即2x+y-8=0．
此時，直線l的斜率為$\frac{1}{2}$，直線l經(jīng)過點(diǎn)B（0，3），∴直線l的方程為y=$\frac{1}{2}$x+3．

點(diǎn)評 本題考查軌跡方程，考查直線方程，考查學(xué)生的計算能力，正確運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式是關(guān)鍵．