Question

16．已知函數(shù)f（x）=x²-4x+3，g（x）=mx+5-2m，
（1）求y=f（x）在區(qū)間[0，a]（a＞0）上的最小值
（2）若對任意的x₁∈[1，4]，都有x₂∈[1，4]，使f（x₁）=g（x₂）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得f（x）在區(qū)間[0，a]（a＞0）上的最小值．
（2）在[1，4]上，求得f（x）∈[-1，3]，再根據(jù)g（x）的值域包含[-1，3]，求得m的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1 在區(qū)間[0，a]上，
故當(dāng)a≤2 時(shí)，$f{（x）_{min}}=f（a）={a^2}-4a+3$；
當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）_min=f（2）=-1；∴$f{（x）_{min}}=\left\{{\begin{array}{l}{{a^2}-4a+3，a∈（{0，2}]}\\{-1，a∈（{2，+∞}）}\end{array}}\right.$．
（2）由已知，在[1，4]上，m≠0，f（x）∈[-1，3]，
當(dāng)m＞0時(shí)，g（x）∈[5-m，2m+5]，$\left\{{\begin{array}{l}{5-m≤-1}\\{2m+5≥3}\end{array}}\right.⇒m≥6$；
當(dāng)m＜0時(shí)，g（x）∈[2m+5，5-m]，由$\left\{{\begin{array}{l}{2m+5≤-1}\\{5-m≥3}\end{array}}\right.⇒m≤-3$，
∴m∈（-∞，-3]∪[6，+∞）．

點(diǎn)評 本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．