Question

15．若f（n）=1+$\frac{1}{{\sqrt{2}}}$+$\frac{1}{{\sqrt{3}}}$+…+$\frac{1}{{\sqrt{n}}}$，n∈N，當(dāng)n≥3時(shí)，證明：f（n）＞$\sqrt{n+1}$．

Answer 1

分析 利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，即可證明結(jié)論．

解答 證明：①n=3時(shí)，結(jié)論成立；
②假設(shè)n=k（k∈N，k≥3）時(shí)，不等式成立，即f（k）＞$\sqrt{k+1}$，
則n=k+1時(shí)，f（k+1）＞$\sqrt{k+1}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$=$\frac{k+2}{\sqrt{k+1}}$＞$\frac{k+2}{\sqrt{k+2}}$=$\sqrt{k+2}$，
即n=k+1時(shí)，不等式成立，
由①②可知當(dāng)n≥3時(shí)，f（n）＞$\sqrt{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．