Question

4．對于數(shù)列{a_n}，若?m，n∈N^*（m≠n），都有$\frac{{a}_{m}-{a}_{n}}{m-n}$≥t（t為常數(shù)）成立，則稱數(shù)列{a_n}具有性質(zhì)P（t）．
（1）若數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2ⁿ，且具有性質(zhì)P（t），則t的最大值為2；
（2）若數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n²-$\frac{a}{n}$，且具有性質(zhì)P（10），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[36，+∞）．

Answer 1

分析 （1）由題意可得$\frac{{2}^{m}-mt-（{2}^{n}-nt）}{m-n}$≥0，即數(shù)列{2ⁿ-nt}單調(diào)遞增，運(yùn)用單調(diào)性的定義，計算即可得到t的最大值；
（2）由題意可得$\frac{{m}^{2}-\frac{a}{m}-（{n}^{2}-\frac{a}{n}）}{m-n}$≥10，即有$\frac{{m}^{2}-10m-\frac{a}{m}-（{n}^{2}-10n-\frac{a}{n}）}{m-n}$≥0，即為數(shù)列{n²-10n-$\frac{a}{n}$}為單調(diào)遞增，由單調(diào)性即可得到所求范圍．

解答 解：（1）由題意可得$\frac{{2}^{m}-{2}^{n}}{m-n}$≥t恒成立，即有
$\frac{{2}^{m}-mt-（{2}^{n}-nt）}{m-n}$≥0，
即數(shù)列{2ⁿ-nt}單調(diào)遞增，
即有2ⁿ⁺¹-（n+1）t-（2ⁿ-nt）≥0，即t≤2ⁿ，
由于2ⁿ的最小值為2，則t≤2．
故t的最大值為2；
（2）由題意可得$\frac{{m}^{2}-\frac{a}{m}-（{n}^{2}-\frac{a}{n}）}{m-n}$≥10，
即有$\frac{{m}^{2}-10m-\frac{a}{m}-（{n}^{2}-10n-\frac{a}{n}）}{m-n}$≥0，
即為數(shù)列{n²-10n-$\frac{a}{n}$}為單調(diào)遞增，
即有（n+1）²-10（n+1）-$\frac{a}{n+1}$-（n²-10n-$\frac{a}{n}$）≥0，
即為-a≤n（n+1）（2n-9），
由f（n）=n（n+1）（2n-9），n=3時，取得最小值-36，
則-a≤-36，
即有a≥36．
故答案為：2，[36，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查數(shù)列的單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．