Question

6．某家庭進(jìn)行理財(cái)投資，投資債券產(chǎn)品的收益f（x）與投資額x成正比，投資股票產(chǎn)品的收益g（x）與投資額x的算術(shù)平方根成正比，已知投資1萬(wàn)元時(shí)兩類產(chǎn)品的收益分別是0.125萬(wàn)元和0.5萬(wàn)元．
（1）分別寫出兩種產(chǎn)品的收益與投資的函數(shù)關(guān)系式；
（2）該家庭現(xiàn)有20萬(wàn)資金，全部用于理財(cái)投資，問(wèn)：怎樣分配資金能使投資獲得最大收益，其最大收益是多少萬(wàn)元？

Answer 1

分析 （1）由投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比，投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比，結(jié)合函數(shù)圖象，我們可以利用待定系數(shù)法來(lái)求兩種產(chǎn)品的收益與投資的函數(shù)關(guān)系；
（2）由（1）的結(jié)論，我們?cè)O(shè)設(shè)投資債券類產(chǎn)品x萬(wàn)元，則股票類投資為20-x萬(wàn)元．這時(shí)可以構(gòu)造出一個(gè)關(guān)于收益y的函數(shù)，然后利用求函數(shù)最大值的方法進(jìn)行求解．

解答 解：（1）f（x）=k₁x，g（x）=k2$\sqrt{x}$，f（1）=$\frac{1}{8}$=k1，g（1）=k2=$\frac{1}{2}$，f（x）=$\frac{1}{8}$x（x≥0），
g（x）=$\frac{1}{2}$$\sqrt{x}$（x≥0）
（2）設(shè)：投資債券類產(chǎn)品x萬(wàn)元，則股票類投資為20-x萬(wàn)元．
y=f（x）+g（20-x）=$\frac{x}{8}$+$\frac{1}{2}$$\sqrt{20-x}$（0≤x≤20）
令t=$\sqrt{20-x}$，則y=$\frac{20-{t}^{2}}{8}$+$\frac{1}{2}$t=-$\frac{1}{8}$（t2-4t-20）=-$\frac{1}{8}$（t-2）2+3
所以當(dāng)t=2，即x=16萬(wàn)元時(shí)，收益最大，y_max=3萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng) 函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，我們要經(jīng)過(guò)析題→建�！�解�！�還原四個(gè)過(guò)程，在建模時(shí)要注意實(shí)際情況對(duì)自變量x取值范圍的限制，解模時(shí)也要實(shí)際問(wèn)題實(shí)際考慮．將實(shí)際的最大（�。┗瘑�(wèn)題，利用函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（�。┦亲顑�(yōu)化問(wèn)題中，最常見(jiàn)的思路之一．