Question

6．某家庭進行理財投資，投資債券產(chǎn)品的收益f（x）與投資額x成正比，投資股票產(chǎn)品的收益g（x）與投資額x的算術平方根成正比，已知投資1萬元時兩類產(chǎn)品的收益分別是0.125萬元和0.5萬元．
（1）分別寫出兩種產(chǎn)品的收益與投資的函數(shù)關系式；
（2）該家庭現(xiàn)有20萬資金，全部用于理財投資，問：怎樣分配資金能使投資獲得最大收益，其最大收益是多少萬元？

Answer 1

分析 （1）由投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比，投資股票等風險型產(chǎn)品的收益與投資額的算術平方根成正比，結(jié)合函數(shù)圖象，我們可以利用待定系數(shù)法來求兩種產(chǎn)品的收益與投資的函數(shù)關系；
（2）由（1）的結(jié)論，我們設設投資債券類產(chǎn)品x萬元，則股票類投資為20-x萬元．這時可以構(gòu)造出一個關于收益y的函數(shù)，然后利用求函數(shù)最大值的方法進行求解．

解答 解：（1）f（x）=k₁x，g（x）=k2$\sqrt{x}$，f（1）=$\frac{1}{8}$=k1，g（1）=k2=$\frac{1}{2}$，f（x）=$\frac{1}{8}$x（x≥0），
g（x）=$\frac{1}{2}$$\sqrt{x}$（x≥0）
（2）設：投資債券類產(chǎn)品x萬元，則股票類投資為20-x萬元．
y=f（x）+g（20-x）=$\frac{x}{8}$+$\frac{1}{2}$$\sqrt{20-x}$（0≤x≤20）
令t=$\sqrt{20-x}$，則y=$\frac{20-{t}^{2}}{8}$+$\frac{1}{2}$t=-$\frac{1}{8}$（t2-4t-20）=-$\frac{1}{8}$（t-2）2+3
所以當t=2，即x=16萬元時，收益最大，y_max=3萬元．

點評 函數(shù)的實際應用題，我們要經(jīng)過析題→建�！饽！€原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考慮．將實際的最大（�。┗瘑栴}，利用函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（�。┦亲顑�(yōu)化問題中，最常見的思路之一．