Question

8．P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足|PB|=2|PA|=2，$∠APB=\frac{5π}{6}$，且$2\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}+4\overrightarrow{PC}=\overrightarrow 0$，則△ABC的面積為（　�。�

• A． $\frac{9}{8}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． 1
• D． $\frac{6}{5}$

Answer 1

分析 可作圖：延長(zhǎng)PA到D，使PD=2PA，延長(zhǎng)PB到F，使PE=3PB，并連接DE，取DE中點(diǎn)F，并連接PF，設(shè)交AB于O，連接AF，從而有AF∥PE，且$AF=\frac{1}{2}PE$，從而得出$\frac{AF}{PB}=\frac{FO}{PO}=\frac{3}{2}$，這樣便可得到$PF=\frac{5}{2}PO$，根據(jù)作圖過(guò)程可以得到$2\overrightarrow{PF}+4\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$，從而有PF=2PC，進(jìn)一步便可得到$CO=\frac{9}{4}PO$，從而${S}_{△ABC}=\frac{9}{4}{S}_{△PAB}$，而根據(jù)條件可以求出S_△PAB，從而可以得出△ABC的面積．

解答 解：如圖，
延長(zhǎng)PA到D，使PD=2PA，延長(zhǎng)PB到F，使PE=3PB，連接DE，取DE中點(diǎn)F，并連接PF，設(shè)交AB于O，連接AF，則：
AF∥PE，且$AF=\frac{1}{2}PE=\frac{3}{2}PB$；
∴$\frac{AF}{PB}=\frac{3}{2}=\frac{FO}{PO}$；
∴$FO=\frac{3}{2}PO$，∴$PF=\frac{5}{2}PO$；
∵$2\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{PF}$；
∴$2\overrightarrow{PF}+4\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$；
∴PF=2PC；
∴$\frac{5}{2}PO=2PC$，即$PC=\frac{5}{4}PO$；
∴$CO=\frac{9}{4}PO$；
∴${S}_{△ABC}=\frac{9}{4}{S}_{△PAB}$；
∵${S}_{△PAB}=\frac{1}{2}•1•2•sin\frac{5π}{6}=\frac{1}{2}$；
∴${S}_{△ABC}=\frac{9}{8}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)乘的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則，以及三角形中位線的性質(zhì)，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比例關(guān)系，三角形的面積公式，向量的數(shù)乘運(yùn)算．