Question

1．已知F₁、F₂是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左右兩個焦點(diǎn)，過F₂且斜率為1的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求直線l的方程及△AF₁B的周長；
（Ⅱ）求線段|AB|的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得雙曲線的a，b，c，右焦點(diǎn)，可得直線的方程y=x-$\sqrt{7}$，代入雙曲線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，可得|AB|，再由雙曲線的定義可得△AF₁B的周長為4a+2|AB|=8+2|AB|，計算即可得到；
（Ⅱ）由（Ⅰ）即可得到弦長．

解答 解：（Ⅰ）雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的a=2，b=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{7}$，
右焦點(diǎn)F₂（$\sqrt{7}$，0），即有直線l的方程為y=x-$\sqrt{7}$，
代入雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，可得x²-8$\sqrt{7}$x+40=0，
即有x₁+x₂=8$\sqrt{7}$，x₁x₂=40，
則A，B為右支上的兩點(diǎn)，
設(shè)|AF₂|=m，|BF₂|=n，則|AF₁|=2a+m，|BF₁|=2a+n，
即有△AF₁B的周長為4a+2|AB|=8+2|AB|，
由弦長公式可得|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（8\sqrt{7}）^{2}-4×40}$=24，
即有△AF₁B的周長為8+48=56；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得|AB|=24．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的定義、方程的運(yùn)用，考查直線和雙曲線聯(lián)立方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．