Question

13．過(guò)雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{λ}=1$的右焦點(diǎn)F₂（5，0）作斜率為l的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于M，N兩點(diǎn)．則|MN|=192．

Answer 1

分析 由題意可得c=5，由雙曲線(xiàn)的a，b，c的關(guān)系可得雙曲線(xiàn)的方程，聯(lián)立直線(xiàn)y=x-5，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，計(jì)算即可得到．

解答 解：由題意可得c=5，即有9+λ=25，
解得λ=16，
聯(lián)立雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1和直線(xiàn)y=x-5，
可得7x²+90x-369=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{90}{7}$，x₁x₂=-$\frac{369}{7}$，
由弦長(zhǎng)公式可得|MN|=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（-\frac{90}{7}）^{2}+\frac{4×369}{7}}$=192．
故答案為：192．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的方程和性質(zhì)，考查直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系，注意運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．