Question

4．定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x），如果對(duì)任意x∈（0，+∞），都有f（kx）=kf（x）（k≥2，k∈N^*）成立，則稱f（x）為k階伸縮函數(shù)．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）為二階伸縮函數(shù)，且當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，$f（x）=1+{log_{\frac{1}{3}}}x$，求$f（2\sqrt{3}）$的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）為三階伸縮函數(shù)，且當(dāng)x∈（1，3]時(shí)，$f（x）=\sqrt{3x-{x^2}}$，求證：函數(shù)$y=f（x）-\sqrt{2}x$在（1，+∞）上無(wú)零點(diǎn)；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）為k階伸縮函數(shù)，且當(dāng)x∈（1，k]時(shí)，f（x）的取值范圍是[0，1），求f（x）在（0，kⁿ⁺¹]（n∈N^*）上的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，$f（x）=1+{log_{\frac{1}{3}}}x$，從而f（$\sqrt{3}$）=$\frac{1}{2}$，由此能求出函數(shù)f（x）為二階伸縮函數(shù)，由此能求出$f（2\sqrt{3}）$的值．
（Ⅱ）當(dāng)x∈（1，3]時(shí)，$f（x）=\sqrt{3x-{x^2}}$，由此推導(dǎo)出函數(shù)$y=f（x）-\sqrt{2}x$在（1，+∞）上無(wú)零點(diǎn)．
（Ⅲ）當(dāng)x∈（kⁿ，kⁿ⁺¹]時(shí)，$f（x）={k^n}f（\frac{x}{k^n}）$，由此得到$f（\frac{x}{k^n}）∈[0，1）$，當(dāng)x∈（kⁿ，kⁿ⁺¹]時(shí)，f（x）∈[0，kⁿ），由此能求出f（x）在（0，kⁿ⁺¹]（n∈N^*）上的取值范圍是[0，kⁿ）．

解答 解：（Ⅰ）由題設(shè)，當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，$f（x）=1+{log_{\frac{1}{3}}}x$，
∴$f（\sqrt{3}）=1+lo{g_{\frac{1}{3}}}\sqrt{3}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$．
∵函數(shù)f（x）為二階伸縮函數(shù)，
∴對(duì)任意x∈（0，+∞），都有f（2x）=2f（x）．
∴$f（2\sqrt{3}）=2f（\sqrt{3}）=1$．（4分）
（Ⅱ）當(dāng)x∈（3^m，3^m+1]（m∈N^*）時(shí)，$\frac{x}{3^m}∈（1，3]$．
由f（x）為三階伸縮函數(shù)，有f（3x）=3f（x）．
∵x∈（1，3]時(shí)，$f（x）=\sqrt{3x-{x^2}}$．
∴$f（x）=3f（\frac{x}{3}）={3^2}f（\frac{x}{3^2}）=…={3^m}f（\frac{x}{3^m}）={3^m}\sqrt{3•（\frac{x}{3^m}）-{{（\frac{x}{3^m}）}^2}}=\sqrt{{3^{m+1}}•x-{x^2}}$．
令$f（x）-\sqrt{2}x=0$，解得x=0或x=3^m，它們均不在（3^m，3^m+1]內(nèi)．（7分）
∴函數(shù)$y=f（x）-\sqrt{2}x$在（1，+∞）上無(wú)零點(diǎn)． （8分）
（Ⅲ） 由題設(shè)，若函數(shù)f（x）為k階伸縮函數(shù)，有f（kx）=kf（x），
且當(dāng)x∈（1，k]時(shí)，f（x）的取值范圍是[0，1）．
∴當(dāng)x∈（kⁿ，kⁿ⁺¹]時(shí)，$f（x）={k^n}f（\frac{x}{k^n}）$．
∵$\frac{x}{k^n}∈（1，k]$，所以$f（\frac{x}{k^n}）∈[0，1）$．
∴當(dāng)x∈（kⁿ，kⁿ⁺¹]時(shí)，f（x）∈[0，kⁿ）．
當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，即0＜x≤1，
則?k（k≥2，k∈N^*）使$0＜\frac{1}{k}＜x≤1$，
∴1＜kx≤k，即kx∈（1，k]，∴f（kx）∈[0，1）．
又$f（x）=\frac{1}{k}f（kx）$，∴$f（x）=\frac{1}{k}f（kx）∈[0，\frac{1}{k}）$，即$f（x）∈[0，\frac{1}{k}）$．
∵k≥2，
∴f（x）在（0，kⁿ⁺¹]（n∈N^*）上的取值范圍是[0，kⁿ）． （12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)值的求法，考查函數(shù)值無(wú)零點(diǎn)的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．