Question

16．已知函數(shù)f（x）=-x³+3x²+9x+a．
（1）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若f（x）≥2015對于?x∈[-2，2]恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的遞減區(qū)間；
（2）問題轉(zhuǎn)化為a≥x³-3x²-9x+2015對于?x∈[-2，2]恒成立，設(shè)g（x）=x³-3x²-9x+2015，x∈[-2，2]，通過求導(dǎo)得到g（x）的最大值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=-3x²+6x+9=-3（x²-2x-3）=-3（x-3）（x+1），
令f′（x）＜0，解得：x＞3或x＜-1，
∴f（x）在（-∞，-1），（3，+∞）遞減；
（2）f（x）≥2015對于?x∈[-2，2]恒成立
?a≥x³-3x²-9x+2015對于?x∈[-2，2]恒成立，
設(shè)g（x）=x³-3x²-9x+2015，x∈[-2，2]，
則g′（x）=3（x-3）（x+1），
令g′（x）＞0，解得：x＜-1，
令g′（x）＜0，解得：x＞-1，
∴g（x）在[-2，-1）遞增，在（-1，2]遞減，
∴g（x）_最大值=g（-1）=2020，
∴a≥2020．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．