Question

4．如圖1，已知ABCD是上、下底邊長(zhǎng)分別為2和6的等腰梯形．將它沿對(duì)稱軸OO₁折成直二面角，如圖2，滿足AC⊥BO₁．
（1）求線段OO₁的長(zhǎng)度；
（2）求二面角O-AC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，O（0，0，0），設(shè)O₁（0，0，t），（t＞0），C（0，1，t），由于AC⊥BO₁，可得$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{B{O}_{1}}$=0，解得t，即可得出．
（2）設(shè)平面OAC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OA}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OC}=0}\end{array}\right.$，同理可得：平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$，利用$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$，即可得出．

解答 解：（1）如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，
O（0，0，0），A（3，0，0），
設(shè)O₁（0，0，t），（t＞0），C（0，1，t），B（0，3，0）．
$\overrightarrow{AC}$=（-3，1，t），$\overrightarrow{B{O}_{1}}$=（0，3，-t），
∵AC⊥BO₁，
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{B{O}_{1}}$=3-t²=0，解得t=$\sqrt{3}$．
∴線段OO₁=$\sqrt{3}$．
（2）設(shè)平面OAC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OA}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OC}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{3x=0}\\{y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=-1，則y=$\sqrt{3}$．
∴$\overrightarrow{m}$=$（0，\sqrt{3}，-1）$．
同理可得：平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=$（3，3，2\sqrt{3}）$，
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{2×\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{20}$．
∴二面角O-AC-B的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{20}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、空間位置關(guān)系與空間角，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．