Question

7．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），過F₂作垂直于x軸的直線l交橢圓C于A、B兩點，滿足|AF₂|=$\frac{\sqrt{3}}{6}$c．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）M、N是橢圓C短軸的兩個端點，設點P是橢圓C上一點（異于橢圓C的頂點），直線MP、NP分別和x軸相交于R、Q兩點，O為坐標原點，若|OR|•|OQ|=4，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析 （1）令x=c，求得y，由題意可得$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$c，再由離心率公式，解方程可得e；
（2）求出橢圓上下頂點坐標，設P（x_o，y_o），R（x₁，0），Q（x₂，0），利用M，P，R三點共線求出R，Q的橫坐標，利用P在橢圓上，推出|OR|•|OQ|=a²即可得到a，b的值，進而得到橢圓方程．

解答 解：（1）令x=c，可得y²=b²（1-$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$），
即有y=±$\frac{^{2}}{a}$，由題意可得$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$c，
即為6a²-6c²=$\sqrt{3}$ac，
即有6-6e²=$\sqrt{3}$e，
解得e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）由橢圓方程知M（0，b），N（0，-b），
另設P（x_o，y_o），R（x₁，0），Q（x₂，0），
由M，P，R三點共線，知$\frac{{y}_{0}-b}{{x}_{0}-0}$=$\frac{{y}_{0}-0}{{x}_{0}-{x}_{1}}$，
所以x₁=$\frac{b{x}_{0}}{b-{y}_{0}}$；
同理得x₂=$\frac{b{x}_{0}}{b+{y}_{0}}$．
|OR|•|OQ|=$\frac{^{2}{{x}_{0}}^{2}}{^{2}-{{y}_{0}}^{2}}$…①，
又P在橢圓上所以$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{^{2}}$=1，
即b²-y₀²=$\frac{^{2}{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$代入①得              
|OR|•|OQ|=a²=4，
即有a=2，又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得c=$\sqrt{3}$，b=1，
橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．

點評 本題考查橢圓的方程和性質，考查直線的斜率的運用，注意三點共線的條件，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．