Question

16．棱長為1的正四面體ABCD中，E為棱AB上一點（不含A，B兩點），點E到平面ACD和平面BCD的距離分別為a，b，則$\frac{（ab+1）（a+b）}{ab}$的最小值為（　�。�

• A． 2
• B． $2\sqrt{3}$
• C． $2\sqrt{6}$
• D． $\frac{{7\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 連結(jié)CE，DE，O為△BCD的中心，求出OA，利用體積關(guān)系式，求解以及基本不等式求解即可．

解答 解：連結(jié)CE，DE，由正四面體棱長為1，如圖設(shè)ABCD是棱長為1的正四面體，
作AO⊥平面BCD于O，則O為△BCD的中心
則BO=$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴正四面體的高為AO=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，即OA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
由于V_A-BCD=V_E-BCD+V_E-ACD，有$\frac{\sqrt{6}}{3}$=a+b，由a+b$≥2\sqrt{ab}$，
可得$\frac{1}{ab}$≥$\frac{4}{（a+b）^{2}}$=6，
所以$\frac{（ab+1）（a+b）}{ab}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}（1+\frac{1}{ab}）$$≥\frac{7\sqrt{6}}{3}$．
故選：：D．

點評 本題考查幾何體的體積以及點到平面的距離的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．