Question

10．已知函數(shù)f（x）=lnx-kx+1．
（1）若f（x）≤0恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）證明：$\frac{ln2}{3}$+$\frac{ln3}{8}$+$\frac{ln4}{15}$+…$\frac{lnn}{{n}^{2}-1}$+（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ＜$\frac{{n}^{2}+n+10}{4}$（n∈N^*且n＞1）．

Answer 1

分析 （1）先將問題等價(jià)為：f（x）_max≤0，再通過分類討論求出函數(shù)的最大值，進(jìn)而得出k的取值范圍；
（2）先令k=1，得出函數(shù)不等式，ln≤x-1，再分別令x=1+$\frac{1}{n}$和x=n²得出，（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ≤e＜3和$\frac{ln2}{3}$+$\frac{ln3}{8}$+$\frac{ln4}{15}$+…$\frac{lnn}{{n}^{2}-1}$＜$\frac{（n-1）（n+2）}{4}$，兩式相加即可得出原不等式．

解答 解：（1）根據(jù)題意，問題等價(jià)為，f（x）_max≤0，
對函數(shù)求導(dǎo)得，f'（x）=$\frac{1}{x}$-k（x＞0），
①當(dāng)k≤0時(shí)，f（1）=1-k＞0，與f（x）≤0恒成立不符，故舍去；
②當(dāng)k＞0時(shí)，由f'（x）=0解得，x=$\frac{1}{k}$，則
x∈（0，$\frac{1}{k}$），f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
x∈（$\frac{1}{k}$，+∞），f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
所以，f（x）_max=f（$\frac{1}{k}$）=ln$\frac{1}{k}$≤0，所以k≥1，
綜合以上討論得，實(shí)數(shù)k的取值范圍為：[1，+∞）；
（2）令k=1，由（1）得，lnx≤x-1恒成立，
令x=1+$\frac{1}{n}$代入上式得，ln（1+$\frac{1}{n}$）≤$\frac{1}{n}$，
所以，ln（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ≤1，即（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ≤e＜3，-----------------------①
另一方面，當(dāng)n≥2時(shí)，令x=n²得，
lnn²＜n²-1，兩邊同除以n²-1得，$\frac{lnn}{n^2-1}$＜$\frac{1}{2}$＜$\frac{n}{2}$，
再分別令n=2，3，4，…，n（共n-1項(xiàng)）累加得，
$\frac{ln2}{3}$+$\frac{ln3}{8}$+$\frac{ln4}{15}$+…$\frac{lnn}{{n}^{2}-1}$＜$\frac{1}{2}$（2+3+4+…+n）=$\frac{（n-1）（n+2）}{4}$，---------②
將①+②得，
$\frac{ln2}{3}$+$\frac{ln3}{8}$+$\frac{ln4}{15}$+…$\frac{lnn}{{n}^{2}-1}$+（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ＜$\frac{（n-1）（n+2）}{4}$+3=$\frac{n^2+n+10}{4}$，證畢．

點(diǎn)評 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值中的應(yīng)用，以及運(yùn)用函數(shù)不等式構(gòu)造數(shù)列不等式證明與自然數(shù)有關(guān)的命題，涉及等差數(shù)列求和與構(gòu)造法的靈活運(yùn)用，屬于難題．