Question

15．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且對任意n∈N⁺，都有S_n=2a_n-2．
（I）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{1}{{a}_{n}+{3}^{n}}$，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n．證明：$\frac{1}{5}$≤T_n≤$\frac{\sqrt{6}+1}{10}$．

Answer 1

分析 （I）當(dāng)n=1時，a₁=S₁，當(dāng)n＞1時，將n換為n-1，相減，由等比數(shù)列的通項公式即可得到所求；
（Ⅱ）求得b_n=$\frac{1}{{a}_{n}+{3}^{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}+{3}^{n}}$，前n項和為T_n≥T₁=$\frac{1}{5}$；由基本不等式可得2ⁿ+3ⁿ＞2$\sqrt{{6}^{n}}$，再由不等式的性質(zhì)和等比數(shù)列的求和公式，即可得證．

解答 解：（I）當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2a₁-2，
解得a₁=2，
當(dāng)n＞1時，S_n=2a_n-2，
可得S_n-1=2a_n-1-2，
兩式相減可得a_n=2a_n-2a_n-1，
即為a_n=2a_n-1，
則{a_n}為首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
可得a_n=2ⁿ；
（Ⅱ）證明：b_n=$\frac{1}{{a}_{n}+{3}^{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}+{3}^{n}}$，
前n項和為T_n≥T₁=$\frac{1}{5}$；
由2ⁿ+3ⁿ＞2$\sqrt{{6}^{n}}$，可得
前n項和為T_n＜$\frac{1}{2\sqrt{6}}$+$\frac{1}{2•6}$+$\frac{1}{2•6\sqrt{6}}$+…+$\frac{1}{2•（\sqrt{6}）^{n}}$
=$\frac{1}{2}$•$\frac{\frac{1}{\sqrt{6}}（1-\frac{1}{（\sqrt{6}）^{n}}）}{1-\frac{1}{\sqrt{6}}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{\sqrt{6}-1}$（1-$\frac{1}{（\sqrt{6}）^{n}}$）＜$\frac{\sqrt{6}+1}{10}$．
綜上可得，$\frac{1}{5}$≤T_n≤$\frac{\sqrt{6}+1}{10}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，注意運用下標(biāo)變換相減法，考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．