Question

19．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足：S_n=n²+1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若T_n是數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n項(xiàng)和，試證明：T_n＜$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，即可得到所求通項(xiàng)公式；
（2）運(yùn)用數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，求得T_n，再由不等式的性質(zhì)即可得證．

解答 解：（1）由題意得：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n-1，
∴a₁不滿足上式，
∴{a_n}的通項(xiàng)公式為${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}2&{n=1}\\{2n-1}&{n≥2}\end{array}}\right.$；
（2）證明：T_n=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{4}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$
=$\frac{1}{2•3}$+$\frac{1}{3•5}$+$\frac{1}{5•7}$+…+$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$
=$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2（2n+1）}$＜$\frac{1}{3}$，
即有原不等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用下標(biāo)相減法，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，屬于中檔題．