19.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足:Sn=n2+1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若Tn是數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n項(xiàng)和,試證明:Tn<$\frac{1}{3}$.

分析 (1)運(yùn)用當(dāng)n=1時(shí),a1=S1,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1,即可得到所求通項(xiàng)公式;
(2)運(yùn)用數(shù)列的求和方法:裂項(xiàng)相消求和,求得Tn,再由不等式的性質(zhì)即可得證.

解答 解:(1)由題意得:當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2;
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-1,
∴a1不滿足上式,
∴{an}的通項(xiàng)公式為${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}2&{n=1}\\{2n-1}&{n≥2}\end{array}}\right.$;
(2)證明:Tn=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{4}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$
=$\frac{1}{2•3}$+$\frac{1}{3•5}$+$\frac{1}{5•7}$+…+$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$
=$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{2}$($\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$)
=$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{2}$($\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+1}$)=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2(2n+1)}$<$\frac{1}{3}$,
即有原不等式成立.

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,注意運(yùn)用下標(biāo)相減法,考查數(shù)列的求和方法:裂項(xiàng)相消求和,屬于中檔題.

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A.[0,$\frac{3π}{8}$]B.[$\frac{3π}{8}$,$\frac{7π}{8}$]C.[0,$\frac{3π}{8}$]和[$\frac{7π}{8}$,π]D.[$\frac{7π}{8}$,π]

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