Question

6．設函數(shù)f（x）=|x+2|+|x-a|，x∈R
（1）若a＜0，且log₂f（x）＞2對任意x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若a＞0，且關于x的不等式f（x）＜$\frac{3}{2}$x有解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用絕對值的不等式求得f（x）=|x+2|+|x-a|的最小值，再由最小值大于4求得a的范圍；
（2）寫出分段函數(shù)解析式，畫出圖形，數(shù)形結合列式求解．

解答 解（1）由log₂f（x）＞2對任意x∈R恒成立，得f（x）＞4對任意x∈R恒成立，
即|x+2|+|x-a|＞4對任意x∈R恒成立，
也就是（|x+2|+|x-a|）_min＞4對任意x∈R恒成立，
由|x+2|+|x-a|≥|（x+2）-（x-a）|=|2+a|，
得|2+a|＞4，即2+a＜-4或2+a＞4，解得a＜-6或a＞2，
∵a＜0，∴a＜-6；
（2）∵a＞0，
∴f（x）=|x+2|+|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+a-2，x≤-2}\\{a+2，-2＜x＜a}\\{2x-a+2，x≥a}\end{array}\right.$，
畫出函數(shù)y=f（x）與y=$\frac{3}{2}x$的圖象如圖，

由圖可知，要使關于x的不等式f（x）＜$\frac{3}{2}$x有解，則$\frac{a+2}{a}＜\frac{3}{2}$，解得a＞4．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查數(shù)學轉化思想方法和數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題．