Question

9．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點B（0，-2）．
（1）求此橢圓的方程；
（2）若直線y=kx+1（k≠0）交橢圓C于不同的兩點E，F(xiàn)，且E，F(xiàn)都在以B為圓心的圓上，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件便可得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{4}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，這樣便可解出a，b，從而可得出橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）直線的方程帶入橢圓的方程可以得到（1+4k²）x²+8kx-12=0①，而以B為圓心的圓的方程可設(shè)為x²+（y+2）²=r²，從而將直線方程帶入圓的方程可以得到（1+k²）x²+6kx+9-r²=0②，而根據(jù)題意知，方程①②有相同的實數(shù)根，從而有$\frac{1+4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}=\frac{8k}{6k}$，這樣即可解出k的值．

解答 解：（1）橢圓過點B（0，-2）；
∴$\frac{0}{{a}^{2}}+\frac{4}{^{2}}=1$；
∴b²=4；
橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$；
∴$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}$；
即$\frac{4}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}$；
∴a²=16；
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）y=kx+1帶入橢圓方程并整理得：
（1+4k²）x²+8kx-12=0①；
以B（0，-2）為圓心的圓的方程設(shè)為x²+（y+2）²=r²；
將y=kx+1帶入圓的方程并整理得：
（1+k²）x²+6kx+9-r²=0②；
根據(jù)題意知方程①②有相同的解；
∴$\frac{1+4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}=\frac{8k}{6k}$；
解得$k=±\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點評 考查橢圓的標準方程，橢圓的離心率，曲線上點的坐標和曲線方程的關(guān)系，以及圓的標準方程，直線和曲線的交點和直線方程與曲線方程形成方程組解的關(guān)系，清楚兩個一元二次方程的解相同時，這兩個方程相同．