Question

12．如圖，在底面為梯形的四棱錐S-ABCD中，已知AD∥BC，∠ASC=60°，AD=DC=$\sqrt{2}$，SA=SC=SD=2．
（Ⅰ）求證：AC⊥SD；
（Ⅱ）求三棱錐B-SAD的體積．

Answer 1

分析 （1）取AC中點(diǎn)O，連結(jié)OD，SO，由等腰三角形的性質(zhì)可知AC⊥SO，AC⊥OD，故AC⊥平面SOD，于是AC⊥SD；
（2）由△ASC是等邊三角形可求得SO，AC，利用勾股定理的逆定理可證明AD⊥CD，SO⊥OD，故而SO⊥平面ABCD，代入體積公式計(jì)算即可．

解答 證明：（1）取AC中點(diǎn)O，連結(jié)OD，SO，
∵SA=SC，∴SO⊥AC，
∵AD=CD，∴OD⊥AC，
又∵OS?平面SOD，OD?平面SOD，OS∩OD=O，
∴AC⊥平面SOD，∵SD?平面SOD，
∴AC⊥SD．
（2）∵SA=SC=2，∠ASC=60°，∴△ASC是等邊三角形，∴AC=2，OS=$\sqrt{3}$，
∵AD=CD=$\sqrt{2}$，∴AD²+CD²=AC²，∴∠ADC=90°，OD=$\frac{1}{2}AC$=1．
∵SD=2，∴SO²+OD²=SD²，∴SO⊥OD，
又∵SO⊥AC，AC?平面ABCD，OD?平面ABCD，AC∩OD=O，
∴SO⊥平面ABCD，
∴V_棱錐B-SAD=V_棱錐S-ABD=$\frac{1}{3}$S_△ABD•SO=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AD×CD×SO$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．