Question

7．如圖，四棱錐P-ABCD中，AP⊥平面PBC，AB∥DC，AP=AD=DC=$\frac{1}{2}$AB=1，∠ADC=120°，E，F(xiàn)分別為線段AB，PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AP∥平面EFD；
（Ⅱ）求證：平面EFD⊥平面APC；
（Ⅲ）求錐體P-ADC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)AC∩DE=O，連接OF，EC，證明AP∥OF，然后證明AP∥平面EFD．
（Ⅱ）證明AP⊥ED． AC⊥ED，推出ED⊥平面PAC，即可證明平面EFD⊥平面APC．
（III）求出${S_{△APC}}=\frac{1}{2}×AP×PC=\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．D點(diǎn)到平面APC的距離為$DO=\frac{1}{2}$．然后求解幾何體的體積．

解答 （本題滿分14分）
解：（Ⅰ）設(shè)AC∩DE=O，連接OF，EC，
由于E為線段AB的中點(diǎn)，$AD=DC=\frac{1}{2}AB$且AB∥DC，
所以AE∥DC，AE=DC．
所以四邊形ADCE為菱形，故O為AC中點(diǎn)，
又F為PC中點(diǎn)，
因此，在△APC中，AP∥OF
又OF?平面EFD，AP?平面EFD，
所以AP∥平面EFD…（5分）
（Ⅱ）由題意，BE∥CD，BE=CD，所以四邊形BCDE為平行四邊形
所以BC∥ED．
而AP⊥平面PBC，所以AP⊥BC，故AP⊥ED．
因?yàn)樗倪呅蜛DCE為菱形，所以AC⊥ED，
又AP∩AC=A，AP，AC?平面PAC，
所以ED⊥平面PAC，又ED?平面EFD，
所以平面EFD⊥平面APC．…（10分）
（III）在△ADC中，AD=CD=1，∠ADC=120°，所以$AC=\sqrt{3}$．
因?yàn)锳P⊥平面PBC，所以AP⊥PC，又AP=1，所以$PC=\sqrt{A{C^2}-A{P^2}}=\sqrt{2}$．
所以${S_{△APC}}=\frac{1}{2}×AP×PC=\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
又ED⊥平面PAC，所以D點(diǎn)到平面APC的距離為$DO=\frac{1}{2}$．
V_P-ADC=V_D-APC=$\frac{1}{3}$×DC×S_△APC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{12}$…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直，直線與平面平行，幾何體的體積的求法，考查計(jì)算能力．