【題目】已知數(shù)列滿足，且.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）設(shè)數(shù)列的前n項和為，求證：當(dāng)時，.

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

(1)法一：計算出數(shù)列前4項，猜想：，用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；法二：所給等式化簡為 所以是等差數(shù)列，首項為2，公差為1，求出通項公式即可得解；(2) 先證明時，，

，再證明，即可得證.

解：（1）法一：，且

，

同樣可求得，

猜想：，

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明

①當(dāng)時，，符合，

②假設(shè)時，，

則時，，即，

符合，

綜上：.

法二：由得

，，

即，

是等差數(shù)列，首項為2，公差為1，

則.

（2）當(dāng)時，，

法一：先證明時，，

令，則，

為減函數(shù)，

則時，.

時，

，

又即

，

時，，

當(dāng)時，.

法二：

，

要證明，

即證，

設(shè)，

則，

由得：

當(dāng)時，，

，

，

，

當(dāng)時，.

法三：由法二知即證，

設(shè)

當(dāng)時，成立，

當(dāng)時，

，

當(dāng)時，.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，若同時滿足以下條件：

①在D上單調(diào)遞減或單調(diào)遞增；

②存在區(qū)間，使在 上的值域是，那么稱為閉函數(shù)．

（1）求閉函數(shù)符合條件②的區(qū)間 ；

（2）判斷函數(shù)是不是閉函數(shù)？若是請找出區(qū)間；若不是請說明理由；

（3）若是閉函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】王老師是高三的班主任，為了在寒假更好的督促班上的學(xué)生完成學(xué)習(xí)作業(yè)，王老師特地組建了一個QQ群，群的成員由學(xué)生、家長、老師共同組成.已知該QQ群中男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)，女學(xué)生人數(shù)多于家長人數(shù)，家長人數(shù)多于教師人數(shù)，教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù).則該QQ群人數(shù)的最小值為（ ）

A.20B.22C.26D.28

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，判斷有無極值，有極值時求出極值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖是一個半徑為1千米的扇形景點的平面示意圖，.原有觀光道路OC，且.為便于游客觀賞，景點管理部門決定新建兩條道路PQ、PA，其中P在原道路OC（不含端點O、C）上，Q在景點邊界OB上，且，同時維修原道路的OP段，因地形原因，新建PQ段、PA段的每千米費用分別是萬元、萬元，維修OP段的每千米費用是萬元.

（1）設(shè)，求所需總費用，并給出的取值范圍；

（2）當(dāng)P距離O處多遠(yuǎn)時，總費用最小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列，為其前項的和，滿足.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，求證：當(dāng)，時；

（3）已知當(dāng)，且時有，其中，求滿足的所有的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的兩個焦點，與短軸的一個端點構(gòu)成一個等邊三角形，且直線與圓相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知過橢圓的左頂點的兩條直線，分別交橢圓于，兩點，且，求證：直線過定點，并求出定點坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某健身館在2019年7、8兩月推出優(yōu)惠項目吸引了一批客戶.為預(yù)估2020年7、8兩月客戶投入的健身消費金額，健身館隨機抽樣統(tǒng)計了2019年7、8兩月100名客戶的消費金額，分組如下：，，，…，（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖：

（1）請用抽樣的數(shù)據(jù)預(yù)估2020年7、8兩月健身客戶人均消費的金額（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；

（2）若把2019年7、8兩月健身消費金額不低于800元的客戶，稱為“健身達(dá)人”，經(jīng)數(shù)據(jù)處理，現(xiàn)在列聯(lián)表中得到一定的相關(guān)數(shù)據(jù)，請補全空格處的數(shù)據(jù)，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為“健身達(dá)人”與性別有關(guān)？

健身達(dá)人

非健身達(dá)人

總計

男

10

女

30

總計

（3）為吸引顧客，在健身項目之外，該健身館特別推出健身配套營養(yǎng)品的銷售，現(xiàn)有兩種促銷方案.

方案一：每滿800元可立減100元；

方案二：金額超過800元可抽獎三次，每次中獎的概率為，且每次抽獎互不影響，中獎1次打9折，中獎2次打8折，中獎3次打7折.

若某人打算購買1000元的營養(yǎng)品，請從實際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析應(yīng)該選擇哪種優(yōu)惠方案.

附：

0.150

0.100

0.050

0.010

0.005

2.072

2.706

3.841

6.635

7.879

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況，在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)，當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明：當(dāng)20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．

（1）當(dāng)0≤x≤200時，求函數(shù)v（x）的表達(dá)式；

（2）當(dāng)車流密度x為多大時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時）f（x）=xv（x）可以達(dá)到最大，并求出最大值．（精確到1輛/小時）．

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