Question

6．已知橢圓$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個焦點F（0，-2$\sqrt{2}$），對應的準線方程為y=-$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線l與橢圓交于不同的兩點M，N，且線段MN恰好被點P（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）平分，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）運用橢圓的準線方程，以及a，b，c的關系，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；
（2）判斷P在橢圓內，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），代入橢圓方程，兩式相減，再由中點坐標公式和直線的斜率公式，化簡整理可得MN的斜率，再由點斜式方程可得所求直線方程．

解答 解：（1）由題意可得c=2$\sqrt{2}$，$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$，
解得a=3，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{9-8}$=1，
即有橢圓的方程為$\frac{{y}^{2}}{9}$+x²=1；
（2）點P（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）代入橢圓方程可得，$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$＜1，
即P在橢圓內，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），可得，
$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{9}$+x₁²=1，$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{9}$+x₂²=1，
兩式相減，可得$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{9}$+（x₁-x₂）（x₁+x₂）=0，
由點P（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）為MN的中點，
可得x₁+x₂=-1，y₁+y₂=3，
則k_MN=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{9（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=3，
即有直線l的方程為y-$\frac{3}{2}$=3（x+$\frac{1}{2}$），
即為3x-y+3=0．

點評 本題考查橢圓的方程和性質，考查點差法求直線方程，注意運用中點坐標公式和直線的斜率公式，考查運算能力，屬于中檔題．