Question

15．已知點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）為橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F₂且垂直于x軸的直線與橢圓相交，設(shè)P為其中一交點(diǎn)，若△PF₁F₂為等腰三角形，則該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}$+1
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$+2

Answer 1

分析 由題意可得c=1，即a²-b²=1，設(shè)出橢圓方程，代入x=c，求得P的縱坐標(biāo)，再由等腰三角形可得|PF₂|=|F₁F₂|，
解方程可得a的值，進(jìn)而得到橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)．

解答 解：由題意可得c=1，即a²-b²=1，
設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
令x=c，可得y=±$\frac{^{2}}{a}$，
可得P（c，$\frac{^{2}}{a}$），
若△PF₁F₂為等腰三角形，即有|PF₂|=|F₁F₂|，
即為$\frac{^{2}}{a}$=2c=2，即有a²-2a-1=0，
解得a=1+$\sqrt{2}$，即有長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=2+2$\sqrt{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．