Question

15．已知點F₁（-1，0），F₂（1，0）為橢圓C的兩個焦點，過點F₂且垂直于x軸的直線與橢圓相交，設P為其中一交點，若△PF₁F₂為等腰三角形，則該橢圓的長軸長為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}$+1
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$+2

Answer 1

分析 由題意可得c=1，即a²-b²=1，設出橢圓方程，代入x=c，求得P的縱坐標，再由等腰三角形可得|PF₂|=|F₁F₂|，
解方程可得a的值，進而得到橢圓的長軸長．

解答 解：由題意可得c=1，即a²-b²=1，
設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
令x=c，可得y=±$\frac{^{2}}{a}$，
可得P（c，$\frac{^{2}}{a}$），
若△PF₁F₂為等腰三角形，即有|PF₂|=|F₁F₂|，
即為$\frac{^{2}}{a}$=2c=2，即有a²-2a-1=0，
解得a=1+$\sqrt{2}$，即有長軸長為2a=2+2$\sqrt{2}$．
故選：D．

點評 本題考查橢圓的方程和性質，考查運算能力，屬于基礎題．