Question

18．對函數(shù)f（x），若對于定義域中的任意三個(gè)數(shù)x₁，x₂，x₃，都有f（x₁），f（x₂），f（x₃）都能作為一個(gè)三角形三邊的長，則稱f（x）為“三角型函數(shù)”．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{9}^{x}+m•{3}^{x}+1}{{9}^{x}+{3}^{x}+1}$為“三角型函數(shù)”．則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． [1，4]
• B． （-$\frac{1}{2}$，1）
• C． [-$\frac{1}{2}$，4]
• D． [1，2]

Answer 1

分析 f（x）=1+$\frac{m-1}{{3}^{x}+1+{3}^{-x}}$，m＞1時(shí)，f（x）的值域?yàn)椋?，1+$\frac{m-1}{3}$]；m=1時(shí)，f（x）=1；m＜1時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇1+$\frac{m-1}{3}$，1）．由此結(jié)合三角形中三邊關(guān)系能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：f（x）=$\frac{{9}^{x}+{3}^{x}+1}{{9}^{x}+{3}^{x}+1}$+$\frac{（m-1）•{3}^{x}}{{9}^{x}+{3}^{x}+1}$=1+$\frac{m-1}{{3}^{x}+1+{3}^{-x}}$，
∴m＞1時(shí)，f（x）的值域?yàn)椋?，1+$\frac{m-1}{3}$]．
若對任意的實(shí)數(shù)，均存在以f（x₁），f（x₂），f（x₃）為三邊長的三角形，
即|f（x₁）-f（x₂）|＜f（x₃）恒成立．|f（x₁）-f（x₂）|的最大值小于$\frac{m-1}{3}$，
∴$\frac{m-1}{3}≤1$，解得m≤4；
當(dāng)m=1時(shí)，f（x）=1，對任意的實(shí)數(shù)，均存在以f（x₁），f（x₂），f（x₃）為三邊長的三角形；
當(dāng)m＜1時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇1+$\frac{m-1}{3}$，1），
∵m＜1時(shí)，f（x）=1+$\frac{m-1}{{3}^{x}+1+{3}^{-x}}$是增函數(shù)，f（x）_min=1+$\frac{m-1}{3}$，
x→∞時(shí)，f（x）_max→1，
若對任意的實(shí)數(shù)，均存在以f（x₁），f（x₂），f（x₃）為三邊長的三角形，
即|f（x₁）+f（x₂）|＞f（x₃）恒成立．|f（x₁）+f（x₂）|的最小值大于1，
∵$\frac{m-1}{{3}^{x}+1+{3}^{-x}}$＜0，∴2（1+$\frac{m-1}{3}$）≥1，解得m$≥-\frac{1}{2}$．
綜上，-$\frac{1}{2}≤m≤4$．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-$\frac{1}{2}$，4]．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系的合理運(yùn)用．