Question

18．已知△ABC，若對?t∈R，|$\overrightarrow{BA}-t\overrightarrow{BC}|≥|\overrightarrow{BA}-2\overrightarrow{BC}$|，則△ABC的形狀為（　�。�

• A． 必為銳角三角形
• B． 必為直角三角形
• C． 必為鈍角三角形
• D． 答案不確定

Answer 1

分析 可延長BC到D，使BD=2BC，并連接DA，從而可以得到$\overrightarrow{BA}-2\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DA}$，在直線BC上任取一點E，滿足$\overrightarrow{BE}=t\overrightarrow{BC}$，并連接EA，從而可以得到$\overrightarrow{BA}-t\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{EA}$，這樣便可得到$|\overrightarrow{EA}|≥|\overrightarrow{DA}|$，從而有AD⊥BD，這便得到∠ACB為鈍角，從而△ABC為鈍角三角形．

解答 解：如圖，延長BC到D，使BD=2BC，連接DA，則：

$\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BA}-2\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DA}$；
設$\overrightarrow{BE}=t\overrightarrow{BC}$，則E在直線BC上，連接EA，則：$\overrightarrow{BA}-t\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{EA}$；
∵$|\overrightarrow{BA}-t\overrightarrow{BC}|≥|\overrightarrow{BA}-2\overrightarrow{BC}|$；
∴$|\overrightarrow{EA}|≥|\overrightarrow{DA}|$；
∴AD⊥BD；
∴∠ACD為銳角；
∴∠ACB為鈍角；
∴△ABC為鈍角三角形．
故選：C．

點評 考查向量數乘的幾何意義，向量減法的幾何意義，向量長度的概念，以及數形結合解題的方法，鈍角三角形的概念．