Question

2．有一種大型商品，A，B兩地都有出售，且價(jià)格相同，某地居民從兩地之一購(gòu)得商品后，運(yùn)回的費(fèi)用是：距離A地的運(yùn)費(fèi)是B地運(yùn)費(fèi)的3倍．已知A，B兩地距離10千米，顧客選A地或B地購(gòu)買(mǎi)這種商品的標(biāo)準(zhǔn)是：包括運(yùn)費(fèi)和價(jià)格的總費(fèi)用較低，探究A，B兩地的售貨區(qū)域的分界線的形狀，并分別指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民應(yīng)該如何選擇購(gòu)貨地點(diǎn)？

Answer 1

分析 以A、B所在的直線為x軸，線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，求出由P地到A、B兩地購(gòu)物總費(fèi)用，可求P地居民選擇A地或B地購(gòu)物總費(fèi)用相等時(shí)，點(diǎn)P所在曲線的形狀，進(jìn)而根據(jù)P的位置，即可得出結(jié)論．

解答 解：如圖，以A、B所在的直線為x軸，
線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，
∵|AB|=10，∴A（-5，0），B（5，0）．
設(shè)P（x，y），P到A、B兩地購(gòu)物的運(yùn)費(fèi)分別是3a、a（元/千米）．
當(dāng)由P地到A、B兩地購(gòu)物總費(fèi)用相等時(shí)，
有價(jià)格+A地運(yùn)費(fèi)=價(jià)格+B地運(yùn)費(fèi)，
得3a$\sqrt{（x+5）^{2}+{y}^{2}}$=a$\sqrt{（x-5）^{2}+{y}^{2}}$，
化簡(jiǎn)整理得（x+$\frac{25}{4}$）²+y²=（$\frac{15}{4}$）²，
故A，B兩地的售貨區(qū)域的分界線的形狀為以（-$\frac{25}{4}$，0）為圓心，
$\frac{15}{4}$為半徑的圓；
（1）當(dāng)P點(diǎn)在以（-$\frac{25}{4}$，0）為圓心、
$\frac{15}{4}$為半徑的圓上時(shí)，居民到A地或B地購(gòu)物總費(fèi)用相等，選A或B均可；
（2）當(dāng)P點(diǎn)在上述圓內(nèi)時(shí)，即（x+$\frac{25}{4}$）²+y²＜（$\frac{15}{4}$）²，
∴[9（x+5）²+9y²]-[（x-5）²+y²]=8[（x+$\frac{25}{4}$）²+y²-（$\frac{15}{4}$）²]＜0
∴3a$\sqrt{（x+5）^{2}+{y}^{2}}$＜a$\sqrt{（x-5）^{2}+{y}^{2}}$，故此時(shí)到A地購(gòu)物合算；
（3）同理，當(dāng)P點(diǎn)在上述圓外時(shí)，得3a$\sqrt{（x+5）^{2}+{y}^{2}}$＞a$\sqrt{（x-5）^{2}+{y}^{2}}$，故此時(shí)到B地購(gòu)物合算．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．