Question

15．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=a_n+1（n∈N^*）．?dāng)?shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n+b_n=2（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_nb_n，求證：其前n項(xiàng)和T_n＜4．

Answer 1

分析 （1）由已知推導(dǎo)出數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1，由此能求出{a_n}通項(xiàng)公式，由S_n+b_n=2，得$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{1}{2}$，由此能求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由已知${c_n}=n•\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$，由此利用錯(cuò)位相減法能證明1≤T_n＜4．

解答 解：（1）由已知a₁=1，a_n+1-a_n=1，
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1．
∴其通項(xiàng)公式為：a_n=n．（3分）
∵S_n+b_n=2，則S_n+1+b_n+1=2，兩式相減，化簡可得$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，又S₁+b₁=2，則b₁=1，
∴${b_n}=\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$．（6分）
證明：（2）由已知得：${c_n}=n•\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$．
∴${T_n}=1+2×\frac{1}{2}+3×\frac{1}{2^2}+…+n×\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$，
∴$\frac{1}{2}{T_n}=1×\frac{1}{2}+2×\frac{1}{2^2}+3×\frac{1}{2^3}+…+n×\frac{1}{2^n}$
∴$\frac{1}{2}{T_n}=（{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}}）-\frac{n}{2^n}$=$\frac{{1-\frac{1}{2^n}}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{n}{2^n}$
∴${T_n}=4（{1-\frac{1}{2^n}}）-\frac{n}{{{2^{n-1}}}}=4-\frac{n+2}{{{2^{n-1}}}}$（9分）
又$\frac{n+2}{{{2^{n-1}}}}＞0$，則T_n＜4．
∵${T_{n+1}}-{T_n}=（{4-\frac{n+3}{2^n}}）-（{4-\frac{n+2}{{{2^{n-1}}}}}）=\frac{1}{{{2^{n-1}}}}•\frac{n+1}{2}＞0$
∴T_n+1＞T_n，即T_n遞增，則當(dāng)n=1時(shí)，T_n有最小值1．
綜上，1≤T_n＜4．（12分）

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．