Question

15．已知等比數(shù)列{a_n}的公比為q，前n項和為S_n，若S_n+1，S_n，S_n+2成等差數(shù)列，且S₁=1，則q=-2，a_n=（-2）^n-1．S_n+1=$\frac{1-（-2）^{n+1}}{3}$．

Answer 1

分析 運(yùn)用等差數(shù)列的中項性質(zhì)，運(yùn)用等比數(shù)列的通項公式和求和公式，計算即可得到所求值．

解答 解：S_n+1，S_n，S_n+2成等差數(shù)列，可得
2S_n=S_n+1+S_n+2，
若q=1，可得S_n=na₁=n，
即有2n=n+1+n+2，方程無解；
若q≠1，則2•$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n+1}）}{1-q}$+$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n+2}）}{1-q}$，
可得2qⁿ=qⁿ⁺¹+qⁿ⁺²，
即為q²+q-2=0，解得q=1（舍去）或q=-2，
則q=-2，a_n=a₁q^n-1=（-2）^n-1，
S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{1-（-2）^{n}}{3}$．
即有S_n+1=$\frac{1-（-2）^{n+1}}{3}$．
故答案為：-2，（-2）^n-1，$\frac{1-（-2）^{n+1}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運(yùn)用，同時考查等差數(shù)列的中項性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．